态密度是什么（载流子浓度、态密度有效质量、能谷简并度）
阅读：(100)
2024-11-15 10:31:34
在SPB（Single Parabolic Band，单抛物带）模型下，假设各向同性，能带的有效质量为mb*，能量E和波矢k存在如下关系：态密度的定义：单位空间，单位能量范围内的电子状态数目。其中状态数我们可以用k空间的大小来表示，而根据上述公式我们知道在倒空间中等能面是球形的，因此求解态密度问题在SPB模型下就简化成了：能量变化前后，等能面内的球体体积随能量的变化率，如下图所示，
根据E - k关系，在k空间内沿法线方向能量的变化率为：那么它的倒数其实就是k的大小随能量的变化率，为了计算体积变化率，我们还需要乘上面积元的积分，在SPB下也就是等能面球面面积：结合实空间和倒空间的体积变换关系（差一个1/(2π)³）以及自旋（倒空间中每个点处电子可以有向上向下两种自选状态，还需乘2），我们便很容易得到SPB模型下的态密度g的公式了：接着，再重述一下分布函数的意义：能量为E的状态被占据的概率。考虑电子需使用Fermi-Dirac分布：此时计算载流子浓度的方法就很清晰了：将分布函数乘以态密度，即状态数*电子占据状态的概率，也就是单位体积内该能量的电子数，接着再对能量进行积分就OK了。认为载流子便是导带内的电子（以n型为例），将导带底设为能量零点（上述公式中的能量也已经都是减去导带底之后的值），一直积分到无穷大，就是载流子浓度了，公式如下：我们在使用SPB模型时往往会使用无量纲的约化能量ε（原能量除以kBT）作为自变量，对应的约化费米能级便是η = EF/kBT。上式中能量去量纲化的具体步骤我就不放了。最后的F1/2是约化能量的费米积分，表达式如下之前提到，我们所用的是单抛物带假设，那么当倒空间中有多个导/价带参与输运的时候该如何处理呢？此时我们引入能谷简并度NV的概念，假设有NV个带简并，有效质量相同，那么最终的态密度实际上就是简单的叠加，最终的载流子浓度也是一样的，即：此时如果认为只有一条能带便能贡献这么多的态密度/载流子浓度，我们把这条等效后的单带的有效质量叫做态密度有效质量md*，将上式代回态密度或者载流子浓度的原公式，相同的部分约去，可以得到：至此，大家应该很好理解态密度有效质量计算公式中，简并度的2/3次方这个指数是怎么来的了。接下来我们讲讲怎么数简并度，这可能也是新生入门阶段的一个高频问题了。简并度大于1主要有两种可能：1.有多条不同的带参与输运（轨道简并度＞1）；2.带边的位置不在Γ点，由于对称性，第一布里渊区中该位置有多个对称点（空间简并度>1）。为了确定这两种可能，我们所需要的信息便是能带结构及布里渊区的图像（当然，已经很熟悉的同学可以忽略后者）。以half-Heusler材料NbFeSb举例，它的能带与第一布里渊区图像如下图所示：不难发现它的导带价带带边都不在Γ处，且价带有两条带简并（观察L→W路径上后半段分成了两条）。元胞对应的第一布里渊区由六个全同正方形和八个全同正六边形组成。接下来我们分别来数一下简并度：对于导带，能带条数为1，落于X点，X是布里渊区边界中正方形中心，而该点被两个布里渊区共用，因此其空间简并度为6/2 = 3。能谷简并度NV = 1*3 = 3。而对于价带，轨道简并度为2，L点是六边形中心，相同的道理，空间简并度为8/2 = 4，最终能谷简并度NV = 2*4 = 8。其实不管是轨道数目还是空间对称性造成的简并度上升，最终都可以归结为布里渊区内费米面个数增加，费米面实际上就是费米能级在第一布里渊区内对应的等能面，像最上方第一张图内其实就可以看成是带边位于Γ处的能带在掺杂之后的一个费米面。因此，我们还可以把能谷简并度定义成：第一布里渊区内，完整费米面的个数。还是以NbFeSb为例，我们把它经过n型和p型掺杂之后的费米面画出来（p型每个L点处有两个面，可能需要放大观察一下）：不难数出来导带和价带的能谷简并度分别是3和8。（导带：6*半个费米面；价带：2*8*半个费米面）。当多条能带带边位于不同位置时原理也是一样的，我们只要将每一条能带各自的空间简并度算好，然后加起来就OK了，以简并状态的Pb(Te,Se)为例，我们直接看费米面（示意图源于2011_Nature，DOI:10.1038/nature09996）：L带简并度为4，Σ带简并度为12（全在第一布里渊区内，所以不用做除法），最终总的能谷简并度NV = 4 + 12 = 16。
