引
问:正方体的平面展开图有多少种?答:11种。
铺垫
我们在曾经的文章《围棋中的数学原理(一)》中接触过关于图论的基础概念,接下来我们再引入一些更方便的代数工具,用来刻画图(本文所说的图皆为简单无向图,即连接顶点之间的边至多有一个,并且边本身没有方向)。任意一个图有如下代数表示,我们称之为邻接矩阵:先给图的顶点标号,一个矩阵的第行第列元素表示第个顶点与第个顶点是否存在一条边相连,若存在,则,否则 标号方式不同,邻接矩阵固然不同,但它们彼此都是等价的(只需要交换若干次第行和第行,以及第列和第列,两个彼此等价的邻接矩阵会相互转换,想想为什么)。例如一条长度为2的道路,我们不妨从左到右依次给各个顶点标号为1、2、3,于是它的邻接矩阵是我们在邻接矩阵的基础上稍微加工,就会得到:我们称之为图的Laplace矩阵。上例中各点的度数为:于是的Laplace矩阵为:<左右滑动可见完整公式>证明概要
每一个正方体展开图都是沿着正方体的条棱切割得到的。所以问题的关键在于讨论切割图(切割经过的顶点和边所形成的图)的种类数。由于平面展开图的边界是连通的,所以切割图也是连通的;另外切割中绝不可能出现环路,否则展开图的一部分就和主体断开了,我们所谓的展开图必须是连通的。连通且无环的图我们称之为树。并且,展开图的边界经过正方体的全部顶点,于是切割图也经过全部顶点。一个图的子图是树,若经过的全部顶点,我们称是的生成树,或支撑树。于是切割图一定是正方体的生成树.图片来源于byoshovel的回答 - 知乎
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Kirchhoff 矩阵-树定理 图的生成树集合的元素个数等于
其中表示任意的主子式,即去掉第行第列后剩下的子式。

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