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无穷级数求和常用公式图文(关于无穷级数和的计算)

阅读:(100) 2024-11-18 10:45:28

一道高中题-关于无穷级数和的计算

求下列无穷级数的和, 已知无穷级数是:

其第n项是:

解法1:我们知道当n趋向无穷大的时候,

的值是趋于零的,因为分母是比分子更高级的无穷大。

所以整个数列的和在n趋近无穷大的时候是收敛的,因此有极限的值。

所给的数列之和可以写成:

可以看出每一行的数理都是一个无穷的收敛的的等比数列,

因此和为:

因为有公共的分母, 提出后, 分子也是一个无穷的收敛的等比数列

因此结果是:

解法2:

那么:

两边同时乘以1/10之和有:

前式减去后式有:

对于有限项的右侧前n项为等比数列, 若趋近无穷大,最后一项趋于零, 而等边数列的极限为(1/10)/(1-1/10)=1/9,

因此极限之和为(1/9)/(9/10)=10/81

总结:关于等比数列的公比q<1 的时候, 等比数列的和在n趋于无穷大的时候,是有极限的,其极限值为a/(1-q), a是首项。

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